Ramanujan, o indiano que fazia matemática sem nunca a ter aprendido

Armazenamos a informação no cérebro, mas há muitas maneiras de a gerir. O caso do autodidacta indiano Srinivasa Ramanujan continua a intrigar-nos.

Texto Enrique Gracián

Ramanujan grupo

Ramanujan (ao centro) e Hardy (à direita), numa fotografia de grupo na entrada do Trinity College, Cambridge. Fotografia Arquivo RBA.

Ramanujan nasceu a 22 de Dezembro de 1887, em Erode, uma pequena povoação a cerca de 400 quilómetros de Madrasta, no seio de uma família humilde. Aos 7 anos, conseguiu uma bolsa que lhe permitiu assistir às aulas numa escola de Kumbakonam. As suas extraordinárias qualidades numéricas, tanto em termos de memória como de cálculo, manifestaram-se desde a mais tenra infância. Era capaz de repetir de memória centenas de casas decimais do número π ou da raiz quadrada de dois. O primeiro texto de matemática que caiu nas suas mãos foi a Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics, de G.S. Carr.

Ramanujan não se tornaria a lenda que é se a sua história e os seus trabalhos matemáticos não estivessem sobejamente documentados.

Tinha então 15 anos e pode dizer-se que com ele realizou o seu primeiro trabalho de investigação, pois tratava-se de um texto sintético, em que só havia demonstrações e que, dada a situação de precariedade matemática em que se encontrava, certamente lhe pareceu incompreensível. Devido às circunstâncias em que foi educado, matematicamente falando, faltavam-lhe os recursos que uma formação académica possibilita, em termos do formalismo que qualquer demonstração requer. Por outras palavras, Ramanujan conseguia «ver» os resultados, mas tinha sérias dificuldades em demonstrá-los, pelo menos nos termos que a comunidade matemática considerava adequados. Ramanujan não se tornaria a lenda que é se a sua história e os seus trabalhos matemáticos não estivessem sobejamente documentados. Sem educação nem recursos económicos, conseguiu tornar-se um dos matemáticos mais importantes da sua época e o maior da história da Índia.Aos 16 anos, conseguiu uma bolsa para entrar para o colégio governamental de Kumbakonam. A paixão que sentia pela matemática levava-o a dedicar-lhe todo o seu tempo, descurando as outras disciplinas, pelo que acabou por perder a bolsa. A partir dessa altura, nunca mais conseguiu superar uma disciplina escolar que não fosse matemática. Em 1909, casou-se e viu-se obrigado a procurar trabalho para sustentar a família.

Em 1909, casou-se e viu-se obrigado a procurar trabalho para sustentar a família.

Através de um amigo conseguiu uma carta de recomendação para colaborar com um matemático amador, Diwan Behadur R. Ramachandra Rao, que era cobrador de impostos em Nelore, 130km a norte de Madrasta. Ramanujan, que não admitia viver de nenhum tipo de caridade, aceitou finalmente um trabalho como contabilista na Companhia do Porto de Madrasta. Embora, como pessoa responsável que era, cumprisse as suas obrigações na companhia, a sua mente e a sua alma só almejavam um objectivo: ter os meios suficientes para cobrir as suas necessidades e as da sua família, e poder dedicar-se à matemática. Ramanujan também possuía o «dom dos números».

Ramujan retrato

Embora fosse um autodidacta, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) conseguiu ser aceite em Cambridge graças a Godfrey Harold Hardy. Ali elaborou uma fórmula controversa para seriar números primos. Foi também autor de trabalhos úteis para o âmbito da oncologia e da engenharia informática. Fotografia Granger Collection/Age Fotostock.

Há duas histórias que dão fé desse dom. A primeira é contada por P. C. Mahalanobis (1893-1972), um dos seus colegas indianos em Cambridge, que estava entretido a resolver um problema de lógica matemática publicado num jornal diário. Depois de vários minutos de tentativas, encontrou a solução correcta, que consistia num par de números. Propôs então o problema a Ramanujan, que naquele momento estava a cozinhar (era vegetariano): «Está aqui um problema para ti…» e leu-lho. Ramanujan, no mesmo instante e sem deixar de se ocupar das frigideiras, respondeu-lhe: «Aponta aí a solução…» E ditou-lhe uma fórmula geral para obter um número infinito de pares de números, todos eles soluções para o problema. O primeiro termo era a solução que Mahalanobis tinha encontrado. A segunda aconteceu no Verão de 1917. Ramanujan tinha sido internado em Putney, um sanatório de Cambridge, com sintomas de tuberculose.

Ramanujan tinha-se deixado tentar pelo ramo da matemática que Hardy considerava mais difícil, a teoria dos números.

Certa manhã, o matemático britânico Hardy, seu amigo e mentor, foi visitá-lo. «Lembro-me de que fui vê-lo quando estava doente em Putney», conta Hardy. «Eu tinha viajado no táxi número 1.729 e comentei que o número me parecia bastante insípido e esperava que não fosse de mau agoiro. “Não — respondeu ele — é um número muito interessante. É o número mais pequeno que se pode expressar como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes.”» «Perguntei-lhe, naturalmente, se conhecia a resposta para o problema correspondente para a quarta potência e ele replicou, depois de um momento de reflexão, que o exemplo não era óbvio e que o número devia ser muito grande.» Ramanujan tinha-se deixado tentar pelo ramo da matemática que Hardy considerava mais difícil, a teoria dos números. Rapidamente caiu na «armadilha» que, desde há dois mil anos, os números primos vinham estendendo a todos os matemáticos que se aventuravam pelas suas sombrias veredas. Ramanujan tinha-se proposto encontrar a «fórmula mágica», por meio da qual se pudessem descobrir todos os números primos. Este empenho levá-lo-ia, inevitavelmente, a confrontar-se com problemas de grande envergadura, como o estudo das séries divergentes.


 

ramanujan manuscrito

Ramanujan seguia escrupulosamente uma vida de brâmane, a casta hindu de mais elevada espiritualidade, com um autocontrolo rigoroso e uma frugalidade ascética. Durante toda a sua vida, era ao levantar-se de cama que escrevia todas as suas descobertas, para muitas das quais não conseguia encontrar uma demonstração rigorosa. Na imagem, uma página manuscrita de um dos seus cadernos. Fotografia Arquivo RBA.

No entanto, chegou a um ponto em que a sua situação económica e social não lhe permitia continuar a avançar. Os matemáticos que o rodeavam não podiam ajudá-lo. Com um grupo de amigos redigiu então uma carta em inglês, enviada a vários matemáticos europeus. Ali, Ramanujan expunha os seus conhecimentos e o desejo de os ampliar. O teor da carta era o seguinte: «Excelentíssimo Senhor: Permito-me a liberdade de me apresentar como escriturário do Port Trust Office de Madrasta, com um salário de apenas 20 libras anuais. Tenho cerca de 23 anos de idade. Não tenho formação universitária, mas segui os cursos da escola ordinária. Depois de deixar a escola, empreguei todo o tempo livre de que dispunha a trabalhar em matemática. Não passei pelo processo regular convencional que se segue num curso universitário, mas estou a seguir uma trajectória própria. Efectuei um estudo pormenorizado das séries divergentes em geral e os resultados a que cheguei são qualificados como «surpreendentes» pelos matemáticos locais... Queria pedir-lhe que revisse os trabalhos aqui incluídos. Se achar que há alguma coisa de valor, gostaria de publicar os meus teoremas, mas sou pobre. Não apresentei os cálculos reais nem as expressões que adoptei, mas indiquei o processo que sigo. Devido à minha pouca experiência, terei em grande apreço qualquer conselho que me quiser dar. Peço-lhe que me perdoe qualquer incómodo. Fico, excelentíssimo Senhor, à sua inteira disposição, S. Ramanujan.»

Em Maio de 1913, Hardy conseguiu-lhe uma bolsa para ir para Cambridge, mas Ramanujan recusou-a porque a mãe não lhe deu autorização para ir para Inglaterra.

De todos os matemáticos que receberam a carta de Ramanujan, apenas Hardy se apercebeu do valor daqueles escritos. Ramanujan tinha-lhe enviado cerca de 120 teoremas, que continham uma infinidade de fórmulas. Referindo-se a elas, Hardy comentou: «Nunca tinha visto anteriormente nada sequer parecido com elas. Uma passagem de olhos foi suficiente para compreender que só podiam ter sido escritas por um matemático da mais elevada categoria. Tinham por força que estar certas, pois ninguém teria tido a imaginação suficiente para as inventar.» Em Maio de 1913, Hardy conseguiu-lhe uma bolsa para ir para Cambridge, mas Ramanujan recusou-a porque a mãe não lhe deu autorização para ir para Inglaterra. Ao fim de pouco tempo, porém, deixou-o ir. Segundo relata Hardy, a razão para a alteração dessa decisão ocorreu «na manhã em que a mãe declarou que, na noite anterior, tinha visto o filho numa grande sala, rodeado por um grupo de europeus e que a deusa Namagiri lhe tinha ordenado que não se interpusesse no caminho do filho e que contribuísse para o objectivo da sua vida». Por fim, graças aos esforços de Hardy, Ramanujan conseguiu mudar-se para Cambridge com uma bolsa paga em parte por Madrasta e em parte pelo Trinity College.


 

Ramujan Hardy

Godfrey Harold Hardy (1877-1947) foi um personagem pitoresco com um sentido de humor tipicamente britânico e um restrito círculo de amizades. Um dia decidiu estabelecer uma avaliação pessoal dos matemáticos: pontuava o seu talento numa escala de 0 a 100. Não teve qualquer problema em torná-la pública e nela atribuia a ele próprio a pontuação de 25, 30 a Littlewood e 80 a Hilbert (o seu melhor amigo e o matemático com quem teve mais colaborações). A Ramanujan  concedeu a pontuação máxima: 100. Fotografia Arquivo RBA

A partir desse momento, a tarefa do matemático inglês, que se tornou seu mestre, teve tanto de árdua como de difícil. Que método deveria seguir para lhe ensinar matemática moderna? «As limitações dos seus conhecimentos eram tão assombrosas como a sua profundidade», lamentava-se Hardy. A dificuldade era ainda aumentada pela enorme variedade de temas que Ramanujan tinha abordado, em que se misturavam resultados novos com outros que já tinham sido demonstrados. Em grande medida, Ramanujan devia ser reeducado, mas Hardy tentou sempre evitar que um formalismo excessivo rompesse o que classificava como «encanto da sua inspiração». Ramanujan viveu cinco anos em Cambridge, período durante o qual publicou 21 artigos, cinco dos quais em colaboração com Hardy, que acabou por confidenciar: «Aprendi muito mais com ele do que ele aprendeu comigo.» Na Primavera de 1917, apareceram os primeiros sintomas da tuberculose que acabaria com a vida de Ramanujan.

No início de 1919, voltou para a Índia, onde viria a morrer no ano seguinte.

Nesse mesmo Verão, ele deu entrada no sanatório de Cambridge, e durante o resto da sua vida passaria mais tempo na cama do que fora dela. No Outono de 1918, coincidindo com uma ligeira melhoria do seu estado de saúde, chegou a tão esperada escolha para uma Trinity Fellowship, o que lhe levantou o ânimo para retomar o trabalho, tornando esta uma das suas fases mais produtivas. No início de 1919, voltou para a Índia, onde viria a morrer no ano seguinte. A maior parte da sua obra encontra-se sob a forma epistolar e também recolhida em três cadernos pessoais, um deles perdido e reencontrado em 1976. A revisão total do seu trabalho ainda não foi concluída, pois, apesar de ter falecido com apenas 33 anos, legou ao universo da matemática mais de quatro mil teoremas. Os trabalhos de Ramanujan sobre os números primos, concretamente a descoberta de uma fórmula exacta para a sua obtenção, estão rodeados por uma certa aura de mistério, embora, de certo modo, se possam considerar um fracasso. Hardy comentou a esse respeito: «Apesar de Ramanujan ter tido numerosos e brilhantes êxitos, os seus trabalhos sobre os números primos e sobre todos os problemas relacionados com esta teoria estavam de certeza errados. Pode dizer-se que este foi o seu único grande fracasso.

O método que Ramanujan dizia possuir proporcionava-lhe uma fórmula para obter o número de primos que havia entre um e cem milhões com uma margem de erro espantosamente baixa.

Mas ainda não estou convencido de que, de certo modo, este seu fracasso não tenha sido mais maravilhoso do que qualquer um dos seus triunfos...» Ramanujan não conhecia a obra de Riemann nem a de Gauss, mas estava disposto a encontrar uma fórmula que lhe proporcionasse a lista dos números primos. Dizia possuir uma para saber com precisão a quantidade de números primos menor do que qualquer número dado. Entre os resultados que enviou a Hardy, não havia demonstrações de nenhuma das suas afirmações. O método que Ramanujan dizia possuir proporcionava-lhe uma fórmula para obter o número de primos que havia entre um e cem milhões com uma margem de erro espantosamente baixa. Littlewood demonstrou que Ramanujan estava enganado. A busca da fórmula mágica tinha-o levado, como a tantos outros matemáticos, a entrar em paragens extremamente frutíferas e que, também como em muitos outros casos, tinham uma relação directa com as séries convergentes. Embora a exótica mente matemática de Ramanujan tenha produzido alguns resultados aparentemente falsos, na grande maioria dos casos chegou a resultados certos e de grande beleza matemática. Em qualquer caso, os seus trabalhos ocupam actualmente milhares de matemáticos nas universidades, e os resultados a que chegou são hoje aplicados em áreas tão diferentes como a química de polímeros, a arquitectura de computadores ou a investigação do cancro. Esta e outras histórias espantosas da matemática estão publicadas na nova edição especial de Matemática da National Geographic dedicada aos números primos.

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